連立方程式 計算ツール
ax＋by＝e と cx＋dy＝f の係数を入れるだけで、2元連立一次方程式の解（xとy）をその場で自動計算します。 判別式を使ったクラメルの公式で求め、途中の計算式も表示。解が1つに決まらない（無数・解なし）場合も自動で判定します。
つまり：2つの式を同時に満たす数の組はただ1つで、x ＝ 3、y ＝ 2 です。 グラフでいうと、2本の直線がこの1点で交わっています。
くわしい計算の内訳（参考）
| 式① | x + y = 5 |
|---|---|
| 式② | x − y = 1 |
| 判別式 D（D ＝ a×d − b×c） | 1×-1 − 1×1 ＝ -2 |
| x の分子 Dx（e×d − b×f） | -6 |
| y の分子 Dy（a×f − e×c） | -4 |
| x ＝ D・x ÷ D | -6 ÷ -2 ＝ 3 |
| y ＝ D・y ÷ D | -4 ÷ -2 ＝ 2 |
※ 本ツールは2元連立一次方程式（未知数 x・y の2本の一次式）を、判別式 D＝ad−bc を用いるクラメルの公式で解きます。 D≠0 のとき解はただ1組。D＝0 のときは2式が同じ直線（解は無数）か平行な直線（解なし）かを自動判定します。 係数に小数を入れた場合、表示は小数第4位までに丸めることがあります。
例題と答え（早見表）
代表的な2元連立一次方程式を、本ツールと同じクラメルの公式で解いた結果です。 上のツールの「よく使う例」と同じものを並べています。
| 連立方程式 | 答え |
|---|---|
| x + y = 5 ／ x − y = 1 | x ＝ 3、y ＝ 2 |
| 2x + 3y = 12 ／ x − y = 1 | x ＝ 3、y ＝ 2 |
| 3x + 2y = 16 ／ 5x − y = 9 | x ＝ 2.6154、y ＝ 4.0769 |
| 4x + 2y = 10 ／ 3x − y = 0 | x ＝ 1、y ＝ 3 |
※ 答えが割り切れない場合は小数第4位までに丸めて表示しています。
2元連立一次方程式の解き方
連立方程式とは、複数の式を同時に成り立たせる未知数の組を求める問題です。 このツールが扱うのは、未知数が x・y の2つ、式が一次式2本の「2元連立一次方程式」です。
一般形は次のように書けます。
- 式①：a x ＋ b y ＝ e
- 式②：c x ＋ d y ＝ f
クラメルの公式（判別式で解く）
まず判別式（行列式）D ＝ a×d − b×c を計算します。D が 0 でなければ、解はただ1組に決まり、 次の式で求められます。
- x ＝ （e×d − b×f）÷ D
- y ＝ （a×f − e×c）÷ D
これは中学で習う加減法（消去法）・代入法と同じ答えを与える解き方です。 本ツールでは、この D・分子・割り算の途中式をすべて表示します。
D ＝ 0 のとき（無数・解なし）
判別式 D が 0 になるのは、2本の式がグラフ上で1点では交わらないときです。 このとき2つの場合があります。
- 解が無数：2つの式が実は同じ直線を表す（係数も定数も同じ比）。どの点も両方を満たします。
- 解なし：2つの式が平行な別々の直線を表す。交点がないため、両方を満たす組は存在しません。
本ツールはこの2つを自動で判定して表示します。
よくある質問
- 連立方程式とは何ですか？
- 複数の方程式を「同時に成り立たせる」未知数の値を求める問題です。このツールが扱うのは、未知数が x と y の2つ、式が一次式（2乗などを含まない式）2本の組で、これを2元連立一次方程式と呼びます。グラフでいうと2本の直線が交わる点の座標を求めることに当たります。
- どんな解き方で計算していますか？
- 判別式 D＝ad−bc を使うクラメルの公式で求めています。ax+by=e、cx+dy=f のとき、x＝(e×d−b×f)÷D、y＝(a×f−e×c)÷D です。これは中学で習う加減法・代入法と同じ答えを与える方法で、途中式もツール内に表示します。
- 解が「無数」「解なし」と出るのはなぜですか？
- 判別式 D が 0 になると、2本の式が1点で交わらないことを意味します。2つの式が実は同じ直線を表していれば解は無数に、平行な別々の直線であれば交点がなく解なしになります。ツールはこの2つを自動で判定します。
- 小数や負の数、マイナスの係数も入れられますか？
- はい。各係数・定数は小数や負の数を入力できます。答えが割り切れない場合は読みやすさのため小数第4位までに丸めて表示することがあります。x の係数と y の係数が両方 0 の式は方程式として成り立たないため、その場合は入力を確認するよう促します。
出典・計算の根拠
- クラメルの公式（Cramer's rule）：連立一次方程式を係数行列の行列式で解く線形代数の標準的な定義式。 2元の場合 x＝(e·d−b·f)/(ad−bc)、y＝(a·f−e·c)/(ad−bc)。
- 連立一次方程式の解の分類：判別式（係数行列式）D＝ad−bc が D≠0 で一意解、D＝0 かつ係数比＝定数比で無数、 D＝0 かつ係数比≠定数比で解なし（線形代数の一般論・中学数学「連立方程式」と同値）。
※ 加減法・代入法など手計算の解き方とまったく同じ答えになります。 係数に小数を入れた場合の表示は小数第4位までに丸めることがあり、丸めの範囲では概算になります。